Bu soruya iki kümenin de tanımını yaptıktan sonra kolayca ulaşabiliriz. Tabii ki biri sonlu diğeri sonsuz sayıda eleman içerir hocam diyen seslerinizi duyar gibi oldum.
Sonlu Küme
Sonlu küme, boş küme veya sayılabilir sayıda sonlu eleman içeren kümelere denir. Bu kümenin elemanları listenebilir ve doğal sayılarla sayılabilir: “0,1,2,3,…n” gibi. Dikkat ederseniz eleman sayısı “n” gibi bir doğal sayı ile biter. Bitmezse sonlu küme olmaz. Bitecek.
A sonlu kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir ve bu saydığımız elemanların sayısına eşittir. Hiç eleman yoksa s(A)=0 dır. n(A) ile de gösterilebilir. İngilizce number yani sayı kelimesinin kısaltmasından geliyor n harfi.
A kümesi eğer Türkçe’deki harflerin kümesiyse s(A)=29 olur. Türkçe’deki sesli harflerin kümesiyse s(A)=8 olur.
Uyarı: Bir eleman kümeye sadece bir kere yazılabilir, kümedeki elemanlar tekrarlayamaz.
Sonlu Küme Örnekleri
- Ü = {3, 6, 9, 12, 15, 18}
Sonlu küme Ü’nün eleman sayısı s(Ü)=6
- T= { 25’den küçük doğal sayılar }
T kümesinin elemanlarını açıkça yazacak olursak, sonlu küme olduğu için elemanlar listelenebilir:
T={ 0,1,2,3,….,24} (aradaki nokta noktaları tüm elemanları yazmak istemediğimizde, elemanlar düzenli şekilde artıp ya da azalıyorsa koyabiliriz. yani elemanlar: 4,5,6,…şeklinde 24 e kadar devam ediyor anlamına gelir.)
T kümesinin eleman sayısı 1 den 24’e kadar 24 tane ve 0’la beraber toplam 25 tanedir. s(T)=25
- O={ 7 ile 55 arasındaki doğal sayılar }
Doğal sayılar sıfırdan başlıyor ama burada O kümesi için 7 ile 55 arasındaki doğal sayıları alacağız. 7 ile 55 arasındaki sayılar demek 7 den büyük 55 ten küçük sayılar demektir. Yani 7 den büyük ilk doğal sayı 8 olduğu için kümenin ilk elemanı 8 olacak ve 55 ten küçük en büyük doğal sayı da 54 olduğu için kümemizin en büyük elemanı 54 olacak. Doğal sayılar birer birer arttığı için 8 den başlayarak birer birer arttırarak 54’e kadar sayacağız. Ve bu sonlu bir küme olduğu için tüm elemanları liste halinde gösterebiliriz. O zaman yazalım:
O={ 8,9,10,….,53,54}
O kümesinin eleman sayısını bulmak için birer birer artan elemanlarda kullandığımız pratik bir formül var onu kullanacağız:
Eleman Sayısı= Son Sayı – İlk Sayı + 1
s(O) = 54 – 8 + 1 = 47
Yani O kümesi 47 elemanlı sonlu bir kümedir.
- B = {x : x ∈ Z and x2 – 16= 0}
Z tam sayılar kümesi yani eksi ve artı tam bölünen sayılardır. Tam kelimesi tam bölünmekten geliyor. Yani 5/3 tam sayı olamaz çünkü 5 sayısı 3 e tam bölünmüyor ama 32/2 tam sayıdır çünkü 32 sayısı 2 ye tam bölünür.
x2 – 16 = 0 demek karesi alınıp 16 çıkarılınca sonucu 0 olan sayı demektir. 4 ün karesini alırsak 16 eder ve 16 dan 16 çıkarırsak 0 olur. İstediğimiz gibi bir sayı yani. x bir tam sayı olduğu için negatif sayılar da kümeye dahildi yani 4 ü bulduysak bunun negatifi olan -4 de hemen aklımıza gelmeli ki zaten -4 ün karesi de 16 dır ve 16 çıkınca yine 0 olur. Bu da tanımımıza uyuyor. Yani B kümesi = {-4,4} elemanlarından oluşup 2 elemanlı bir kümedir. Sonludur. s(B)=2
- İstanbul’da dolaşırken insanlar sonsuz sayıda imiş gibi gelse de İstanbul şehrindeki insanların sayısı sonlu bir kümedir.
- Hatta İstanbuldaki kuşların sayısı da sonlu bir kümedir.
Sonsuz Küme
Sonsuz kümenin tüm elemanları listelenemez çünkü sınırsız sayıda eleman vardır. Sonsuz kümenin elemanlarının tamamını yazmaya kalksaydık sonsuz sayıda insanın ömrünü bu işe vermesi gerekirdi. Düşünsenize bir ailede babadan oğula geçen, kızına da geçebilir tabi cinsiyetçilik yapmayalım, bir meslek olurdu. Siz ne yapıyorsunuz abi, biz onlarca nesildir doğal sayıları yazıyoruz, çünkü doğal sayılar sonsuz bir küme. Yaz yaz bitmiyor.
Sonsuz Küme Örnekleri
- Bir doğru parçasındaki noktalar sonsuz kümeye örnektir. Burada doğru parçası 1 milimetre bile olsa arasındaki noktalar kümesi sonsuzdur. Burada şunu sormak gerekiyor, neye göre kime göre sonsuz 🙂 Doğru parçasını uzunluk cinsinden ifade edecek olursak sonsuz değildir, yani 3 santimetre, 5 metre gibi ölçülebilir sonlu bir uzunluğu vardır. Ama doğru parçasını noktalar cinsinden ifade edecek olursak, sonsuz sayıda nokta koymamız gerekirdi. Bu noktanın tanımından dolayı böyledir, çünkü nokta uzunluksuz bir izdir.
- Bir düzlem üzerindeki noktalar da yine sonsuz kümeye örnektir.
- N={0,1,2,3,4,….} 0 dan başlayıp birer birer artan doğal sayılar kümesi sonsuz bir kümedir. Her sayının bir fazlası muhakkak vardır varsayımına dayanıyor.
- 4’ün katı olan tüm doğal sayılar sonsuz kümedir. Bu küme doğal sayılar kümesinin bir alt kümesidir. Sonsuz bir kümenin alt kümesinin de sonsuz olabileceğini görüyoruz. 3’ün katı olan tüm doğal sayılar, 5’in katı olan tüm doğal sayılar da yine sonsuz küme örneklerindendir.
- P={1,2,3,4,….} Sayma sayılar kümesi sonsuz bir kümedir.
- Z={…..-2,-1,0,1,2,….} Tam sayılar kümesi sonsuz bir kümedir.
Yukarıdaki örneklerden bir sonsuz küme ile sonlu küme arasındaki farkı anlayabildiğimizi düşünüyorum. Son olarak söylemek gerekirse sonlu kümeler sayılabilir, sonsuz kümeler sayılamaz çokluktadır.